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2016年天津高考理数试题及参考答案(2)

时间:2016-06-11 09:16来源:教育网 作者:好学网 点击:
所以,事件 发生的概率为 . 随机变量 的所有可能取值为 , , . 所以,随机变量 学.科网分布列为 随机变量 的数学期望 . 考点:概率,概率分布与数学期望 【结束】 (17) 【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ) (Ⅲ) 【解


所以,事件 发生的概率为 .
随机变量 的所有可能取值为


.
所以,随机变量 学.科网分布列为








随机变量 的数学期望 .
考点:概率,概率分布与数学期望
【结束】
(17)
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ) (Ⅲ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)利用空间向量证明线面平行,关键是求出面的法向量,利用法向量与直线方向向量垂直进行论证(Ⅱ)利用空间向量求二面角,关键是求出面的法向量,再利用向量数量积求出法向量夹角,最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值(Ⅲ)利用空间向量证明线面平行,关键是求出面的法向量,再利用向量数量积求出法向量夹角,最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值
试题解析:依题意, ,如图,以 为点,分别以 的方向为 轴, 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得 , .

(I)证明:依题意, .设 为平面 的法向量,则 ,即 .不妨设 ,可得 ,又 ,可得 ,又因为直线 ,所以 .
(II)解:易证, 为平面 的一个法向量.依题意, .设 为平面 的法向量,则 ,即 .不妨设 ,可得 .
因此有 ,于是 ,所以,二面角 的正弦值为 .
(III)解:由 ,学.科网得 .因为 ,所以 ,进而有 ,从而 ,因此 .所以,直线 和平面 所成角的正弦值为 .
考点:利用空间向量解决立体几何问题
【结束】
(18)
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先根据等比中项定义得: ,从而 ,因此根据等差数列定义可证: (Ⅱ) 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简 ,再利用裂项相消法求和 ,易得结论.
试题解析:(I)证明:由题意得 ,有 ,因此 ,所以 是等差数列.
(II)证明:

所以 .
考点:等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和
【结束】
(**)
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)求椭圆标准方程,只需确定量,由 ,得 ,再利用 ,可解得 , (Ⅱ)先化简条件: ,即M再OA中垂线上, ,再利用直线与椭圆位置关系,联立方程组求 ;利用两直线方程组求H,最后根据 ,列等量关系解出直线斜率.取值范围
试题解析:(1)解:设 ,由 ,即 ,可得 ,又 ,所以 ,因此 ,所以椭圆的方程为 .
(2)(Ⅱ)解:设直线 的斜率为 ( ),则直线 的方程为 .设 ,由方程组 ,消去 ,整理得 .
解得 ,或 ,由题意得 ,从而 .
由(Ⅰ)知, ,设 ,有 , .由 ,得 ,所以 ,解得 .因此直线 的方程为 .
设 ,由方程组 消去 ,解得 .在 中, ,即 ,化简得 ,即 ,解得 或 .
所以,直线 的斜率的取值范围为 .
考点:学.科网椭圆的标准方程和几何性质,直线方程
【结束】
(**)
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析(Ⅲ)详见解析
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先求函数的导数: ,再根据导函数零点是否存在情况,分类讨论:①当 时,有 恒成立,所以 的单调增区间为 .②当 时,存在三个单调区间(Ⅱ)由题意得 ,计算可得 再由 及单调性可得结论(Ⅲ)实质研究函数 最大值:主要比较 , 的大小即可,分三种情况研究①当 时, ,②当 时, ,③当 时, .
试题解析:(Ⅰ)解:由 ,可得 .
下面分两种情况讨论:
(1)当 时,有 恒成立,所以 的单调递增区间为 .
(2)当 时,令 ,解得 ,或 .
当 变化时, , 的变化情况如下表:

+ 0 - 0 +

单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 , .
(Ⅱ)证明:因为 存在极值点,所以由(Ⅰ)知 ,且 ,由题意,得 ,即 ,
进而 .

,且 ,由题意及(Ⅰ)知,存在唯一实数满足 ,且 ,因此 ,所以 ;
(Ⅲ)证明:设 在区间 上的最大值为 , 表示 两数的最大值.下面分三种情况同理:
(1)当 时, ,由(Ⅰ)知, 在区间 上单调递减,所以 在区间 上的取值范围为 ,因此


,所以 .
(2)当 时, ,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知, , ,
所以 在区间 上的取值范围为 ,因此


.
(3)当 时, ,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,
, ,
学.科网所以 在区间 上的取值范围为 ,因此

.
综上所述,当 时, 在区间 上的最大值不小于 .
考点:导数的运算,利用导数研究函数的性质、证明不等式
【结束


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(责任编辑:haoxuee)

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